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title: 'Changements de bases pour l’isométrie hyperbolique de dimension 3.'
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[**A.M. Gaifullin**]{}
*Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai 400 005, India*
**Abstract**
> We generalize the results of A. Grothendieck concerning the ring of holomorphic functions and the associated Riemann bilinear relations to the case of the algebra of real analytic functions defined on the unit disk and the associated Poisson brackets. We also discuss certain related properties of isometries of hyperbolic space.
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Introduction
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Cette note a pour but de commenter certaines idées d’Alexander Grothendieck \[G\] et de \[T\], concernant des relations de Jacobi entre les parties réelles et imaginaires d’un polynôme et les sommes de ses puissances. Ces idées ont une portée globale; cependant nous nous bornons à donner un énoncé générique (cf. (\[GR\])), qui donne lieu à certaines applications; en particulier, la section 2 contient une preuve d’un résultat de \[AM2\] concernant la structure de modules sur l’algèbre de Virasoro.
Nous allons commencer par un certain nombre de rappels sur la théorie de l’algèbre des fonctions analytiques (voir \[L\]), et sur ses relations avec la géométrie de dimension 3. En particulier, les notations $z,w$ se réfèrent au plan réel, $t$ et $s$ à l’espace hyperbolique de dimension 3, et $\Re $ à l’espace réel. Il est commode d’utiliser la notation $\tau(p)$ pour l’identité de l’algèbre des fonctions analytiques définies sur le disque unité, d’écriture $\tau(p)=p$ .
Un élément $\lambda\in \Re$ nous permet de définir le système de coordonnées suivant $$\left\{
\begin{array}{l}
t=\frac{s-e^{2\pi i\lambda}\bar s}{1-e^{2\pi i\lambda}} \\
s=te^{\pi i\lambda}
\end{array}
\right.$$ La notation $e^{2\pi i\lambda}$ désigne l’élément de $S^1$ tel que $e^{2\pi i \lambda}=\bar e^{2\pi i \lambda}$, c’est-à-dire le quotient de $S^1$ par l’involution. Cette égalité n’est pas en général une identité: à la différence de l’algèbre des fonctions holomorphes, elle est préservée par des transformations conformes (cf. le lemme 2.2), mais en général elle n’est pas une identité algébrique. Pour définir un nouveau système de coordonnées $$\left\{
\begin{array}{l}
t=\alpha(s)=\frac{s-e^{2\pi i\lambda}\bar s}{1-e^{2\pi i\lambda}}\\
s=te^{\pi i\lambda}
\end{array}
\right.$$ ce qui se traduit par l’égalité $$s\bar s=(1-e^{2\pi i\lambda})(\alpha(s)+\bar\alpha(\bar s))$$ on doit soumettre le premier membre au second. De la formule bien connue $\log \vert s\vert = \Im h(s,s)$, où $h$ est l’élément de ${{\frak s}{{\frak l}}_2}(\Re)$ défini par $$h(x,y)=-\frac{1}{2}(x\log x+\bar y\log\bar y),$$ on tire $$s\bar s=\vert s\vert^2e^{-2\pi i\lambda}.$$ Par le théorème de Schwarz (voir \[L\]), l’application $s\mapsto s\bar s$ est un automorphisme du groupe formel des disques (en particulier elle préserve la topologie de la convergence simple sur les disques) si et seulement si $\lambda$ est identiquement nul, ce qui donne lieu à la construction de l’opérateur $\varphi_{\lambda}$ défini par $\varphi_{\lambda}(f)=f(e^{2\pi i\lambda})e^{2\pi i\lambda}$ (cette opérateur ne peut pas être utilisé si on veut travailler sur des disques fermés). On remarque que la propriété universelle de l’opérateur $\varphi_{\lambda}$ se déduit de ce qui précède si l’on vérifie une équation identique sur les disques et plus généralement sur les intervalles de $\Re$ si l’on utilise le lemme 2.1. On en conclut que la théorie générale de l’algèbre des fonctions analytiques est un cas particulier de la théorie des groupes formels. Les seules différences avec la théorie de l’algèbre d’Eilenberg-Chevalley sont dans la définition des opérateurs (voir ci-dessous) et dans les relations à introduire.
En particulier le groupe formel $\Phi_{\lambda}$ engendré par le champ ${\displaystyle}\frac{dz}{z}=\frac{dt}{t}-\frac{d\bar s}{\bar s}$ est un $\lambda$-groupe de Lie (ou de groupes formels sur des disques formels donnés), ce qui signifie que si $H$ est une application holomorphe de $\Re$ dans $\Re$, et si $A\subset \Re$ est un ouvert quelconque contenant $\lambda$, alors l’application définit par $$A\ni x \to H(\varphi_{\lambda}^x(f))$$ est holomorphe dans $A$ pour tout $f\in \F_{\lambda}$.
En tant que représentation intérieure d’un groupe de Lie, $\Phi_{\lambda}$ est le groupe quantique (ou le groupe quantique dual de $\Phi_{\lambda}$) au sens de V. Drinfeld. (Voir \[D1\] pour la preuve du fait que les coefficients $\tau_{k}(p)$ de la série de Campbell-Hausdorff appartiennent à $\Phi_{\lambda}$).
L’élément de $S^1$ qui correspond à l’élément $\lambda$ est noté $\theta$.
Nous allons montrer que les résultats classiques de géométrie analytique (voir \[K\], \[S\]) s’étendent au cas des fonctions réelles. En particulier le groupe des transformations conformes (voir section 2) en est une sous-variété.
En général $\varphi_{\lambda}$ ne préserve pas le centre de l’algèbre $\F_{\lambda}$, et il est commode de remplacer les opérateurs $\varphi_{\lambda}^x$ par le morphisme défini par $$\varphi_{\lambda}^z=\varphi_{\lambda}
-z(\varphi_{\lambda}-z)^{-1}.$$ Nous écrirons $z=s\bar s$, ou encore $z=e^{2\pi i\lambda}$. L’opérateur $\varphi_{\lambda}^z$ agit sur $\F_{\lambda}$ par la définition $$\varphi_{\lambda}^z f=f(e^{2\pi i\lambda})e^{2\pi i\lambda}
e^{2\pi i\lambda}+f(0)0,$$ c’est-à-dire $$\varphi_{\lambda}^z(f)=\left\{\begin{array}{ll}
f(e^{2\pi i\lambda})e^{2\pi i\lambda}(1+e^{-2\pi i\lambda}) & \mbox{ si } f\neq 0 \\
0 & \mbox{ sinon}.
\end{array}\right.$$ Nous verrons que ces relations déterminent les relations de commutation entre l’opérateur d’évaluation $\varphi_{\lambda}^z$ et les opérateurs $\varphi_{\lambda}^x$ et $\varphi_{\lambda}^y$ pour les opérateurs $\psi_{x,y}$ introduits ci-dessous.
En général on ne peut pas remplacer $\varphi_{\lambda}^z$ par $\varphi_{\lambda}^x$ sans faire apparaître le produit $e^{-2\pi i\lambda}$, mais nous avons (voir le lemme \[lemme:1.1\] ci-dessous) $$\varphi_{\lambda}^x\varphi_{\lambda}^z(f)=f(e^{2\pi i\lambda})e^{2\pi i\lambda}
